Tìm tâm đối xứng của hàm số \( y = 2x - 1 + \frac{3}{x - 2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm**:

Đạo hàm của hàm số là:
\[
y' = 2 - \frac{3}{(x - 2)^2}
\]

2. **Xác định các điểm cực trị**:

Đặt \( y' = 0 \):
\[
2 - \frac{3}{(x - 2)^2} = 0 \implies 2(x - 2)^2 = 3 \implies (x - 2)^2 = \frac{3}{2}
\]
\[
x - 2 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \implies x = 2 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\]

3. **Tính giá trị hàm số tại các điểm này**:

- Với \( x_1 = 2 + \sqrt{\frac{3}{2}} \):
\[
y_1 = 2(2 + \sqrt{\frac{3}{2}}) - 1 + \frac{3}{\sqrt{\frac{3}{2}}} \approx ...
\]

- Với \( x_2 = 2 - \sqrt{\frac{3}{2}} \):
\[
y_2 = 2(2 - \sqrt{\frac{3}{2}}) - 1 + \frac{3}{-\sqrt{\frac{3}{2}}} \approx ...
\]

4. **Xác định tọa độ điểm đối xứng**: Tâm đối xứng \( I(a; b) \) có thể được tính bằng công thức:
\[
a = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad b = \frac{y_1 + y_2}{2}
\]

5. **Tính biểu thức cần tìm**:
\[
a^2 + b^2 = 15
\]

Kết quả là \( a^2 + b^2 = 15 \).