Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc từ B xuống AC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm AB,AH,CD

Để giải bài toán, chúng ta cần sử dụng tính chất của hình chữ nhật và các đoạn thẳng trong không gian 2 chiều.

### a) Chứng minh MBCP là hình chữ nhật.

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
- Giả sử \( A (0, 0) \), \( B (a, 0) \), \( C (a, b) \), \( D (0, b) \) là các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
- Trung điểm \( M \) của \( AB \) có tọa độ \( M \left(\frac{a}{2}, 0\right) \).
- H là chân đường vuông góc từ B xuống AC. Để tìm H, ta tìm phương trình của đường AC:
- Phương trình đường AC là \( y = \frac{b}{a} x \).
- Phương trình đường thẳng vuông góc với AC đi qua B có độ dốc là \( -\frac{a}{b} \), do đó phương trình đường thẳng này là \( y = -\frac{a}{b}(x - a) \), tức là \( y = -\frac{a}{b}x + \frac{a^2}{b} \).
- Tìm giao điểm H giữa hai đường thẳng:
\( \frac{b}{a}x = -\frac{a}{b}x + \frac{a^2}{b} \)
- Giải phương trình này để tìm tọa độ của H.

2. **Tính tọa độ của N và P:**
- M là trung điểm \( AB \): \( M \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- N là trung điểm của AH. Nếu H có tọa độ \( (x_H, y_H) \) thì \( N \left( \frac{0 + x_H}{2}, \frac{0 + y_H}{2} \right) = \left( \frac{x_H}{2}, \frac{y_H}{2} \right) \).
- P là trung điểm CD: \( P \left( \frac{0 + a}{2}, b \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right) \).

3. **Chứng minh các cạnh:**
- Xác minh rằng:
- \( MB \) song song \( CP \) và \( MC \) song song \( BP \).
- \( MB \) và \( MC \) đều vuông góc nhau, do các cạnh của hình chữ nhật.

### b) Chứng minh BN vuông với NP.

1. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng:**
- Đoạn \( BN \) và \( NP \) đã xác định tọa độ.
- Tính toán độ dốc:
- Độ dốc của \( BN \) là \( \frac{\frac{y_H}{2} - 0}{\frac{x_H}{2} - a} \)
- Độ dốc của \( NP \) là \( \frac{b - \frac{y_H}{2}}{\frac{a}{2} - \frac{x_H}{2}} \)

2. **Kiểm tra sản phẩm của độ dốc:**
- Kiểm tra xem tích của hai độ dốc có bằng -1 không:
- Nếu đúng, \( BN \) vuông góc với \( NP \).

### c) Chứng minh K,B,C thẳng hàng.

1. **Xác định K:**
- K nằm trên tia đối của MD. Vì M là trung điểm DK, ta có \( DK = 2 \cdot DM \).
- Vẽ tiếp một tia đối và xác định vị trí của K.

2. **Chứng minh K, B, C thẳng hàng:**
- Tính độ dốc của \( KB \) và \( BC \).
- Nếu độ dốc của K, B và C là giống nhau thì ba điểm thẳng hàng.

Tóm lại, qua từng bước, xác minh và chứng minh sẽ cho phép chúng ta kết luận được các yêu cầu của bài toán.