Để giải bài toán này, ta có các thông tin sau:

1. Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc tại điểm \(A\).
2. Khoảng cách \(OA = 9 \, \text{cm}\) (bán kính đường tròn \((O)\)).
3. Khoảng cách \(O'A = 4 \, \text{cm}\) (bán kính đường tròn \((O')\)).
4. Giả sử \(MN\) là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này với \(M \in (O)\) và \(N \in (O')\).

### a) Tính độ dài \(MAN\)

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài \(MAN\) vì tam giác \(OAM\) là tam giác vuông tại \(A\).

- Đường cao từ \(O\) xuống \(MN\) sẽ tạo thành tam giác vuông \(OAM\) với:
- \(OA\) là một cạnh (9 cm).
- Độ dài tiếp tuyến từ \(O\) đến \(MN\) là một cạnh (được ký hiệu là \(d\)).
- \(AM\) là cạnh huyền, ta cần tính độ dài \(AM\).

#### Công thức tính:
\[
AM^2 = OA^2 - OM^2
\]
Với \(OM = d\).

#### Tính \(d\):
Ta có:
\[
d = \sqrt{OA^2 - O'A^2}
= \sqrt{9^2 - 4^2}
= \sqrt{81 - 16}
= \sqrt{65} \approx 8.06 \, \text{cm}
\]

### b) Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\):

Ta có thể sử dụng công thức tính chiều dài của tiếp tuyến giữa hai đường tròn:
\[
MN = \sqrt{AB^2 - (r_1 - r_2)^2}
\]
trong đó, \(AB = OA + O'A = 9 + 4 = 13\) và \(r_1 = 9\); \(r_2 = 4\).

#### Độ dài \(MN\):
\[
MN = \sqrt{(OA + O'A)^2 - (OA - O'A)^2}
= \sqrt{(13)^2 - (5)^2}
= \sqrt{169 - 25}
= \sqrt{144}
= 12 \, \text{cm}.
\]

### Đáp án:

- Độ dài \(MAN \approx 8.06 \, \text{cm}\).
- Độ dài \(MN = 12 \, \text{cm}\).