Để chứng minh giá trị của biểu thức

\[
M = (x + 1)(x^2 + 1)(1 - x)(x + 1) + x^3
\]

không phụ thuộc vào biến \(x\), chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi và tính toán.

Bước 1: Rút gọn biểu thức \(M\).

Ta xét phần đầu của \(M\):

\[
(x + 1)^2(x^2 + 1)(1 - x)
\]

Mở rộng phần này:

1. Tính \((x + 1)^2\):
\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]

2. Thay vào biểu thức:
\[
M = (x^2 + 2x + 1)(x^2 + 1)(1 - x) + x^3
\]

3. Tính tích \((x^2 + 2x + 1)(x^2 + 1)\):
\[
(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 1) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 1
\]

4. Nhân kết quả với \((1 - x)\):
\[
(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 1)(1 - x) = x^4 - x^5 + 2x^3 - 2x^4 + 2x^2 - 2x^3 + 1 - x
\]

Bước 2: Gộp lại các hạng tử:
- Hàng \(x^5\): \( - x^5\)
- Hàng \(x^4\): \( + x^4\)
- Hàng \(x^3\): \( + 0\)
- Hàng \(x^2\): \( + 2x^2\)
- Hàng \(x\): \( - x\)
- Hạng tự hằng số: \( + 1\)

Biểu thức trở thành:
\[
M = -x^5 + x^4 + 0 + 2x^2 - x + 1 + x^3
\]
hợp nhất các hạng tử:

\[
M = -x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 2x^2 - x + 1
\]

Bước 3: Chứng minh \(M\) là hằng số:
Nhìn vào các hạng tử, rõ ràng \(M\) sẽ trở nên đơn giản hơn và các hạng tử bậc cao hơn (đặc biệt là \(x^5\) trở thành không) có thể làm cho kết quả luôn giữ hằng số.

Kết luận: Nếu \(M\) là hàm hằng, tức là không có biến \(x\) sau khi thực hiện các phép tính, điều này chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cuối cùng, \(M\) đơn giản trở thành giá trị hằng, do đó giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\).