Tìm x: (2x-5)^3 + (x+2)^3 = 27(x-1)^3

Chúng ta có phương trình sau:

\[
(2x - 5)^3 + (x + 2)^3 = 27(x - 1)^3
\]

Để giải phương trình này, trước tiên ta sử dụng công thức tổng khối lập phương:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong trường hợp này, đặt \( a = 2x - 5 \) và \( b = x + 2 \). Khi đó:

\[
a + b = (2x - 5) + (x + 2) = 3x - 3 = 3(x - 1)
\]

Bây giờ, chúng ta tính \( a^2 - ab + b^2 \):

1. Tính \( a^2 \):

\[
a^2 = (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25
\]

2. Tính \( b^2 \):

\[
b^2 = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]

3. Tính \( ab \):

\[
ab = (2x - 5)(x + 2) = 2x^2 + 4x - 5x - 10 = 2x^2 - x - 10
\]

Gom lại:

\[
a^2 - ab + b^2 = (4x^2 - 20x + 25) - (2x^2 - x - 10) + (x^2 + 4x + 4)
\]

\[
= 4x^2 - 20x + 25 - 2x^2 + x + 10 + x^2 + 4x + 4
\]
\[
= (4x^2 - 2x^2 + x^2) + (-20x + x + 4x) + (25 + 10 + 4)
\]
\[
= 3x^2 - 15x + 39
\]

Vậy, ta có:

\[
(2x - 5)^3 + (x + 2)^3 = (3(x - 1))(3x^2 - 15x + 39)
\]

Bây giờ, phương trình ban đầu trở thành:

\[
(3(x - 1))(3x^2 - 15x + 39) = 27(x - 1)^3
\]

Chia cả hai vế cho \( (x - 1) \) (với điều kiện \( x \neq 1 \)):

\[
3(3x^2 - 15x + 39) = 27(x - 1)^2
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
3x^2 - 15x + 39 = 9(x - 1)^2
\]

Khai triển bên phải:

\[
9(x - 1)^2 = 9(x^2 - 2x + 1) = 9x^2 - 18x + 9
\]

Giờ chúng ta có phương trình:

\[
3x^2 - 15x + 39 = 9x^2 - 18x + 9
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
3x^2 - 15x + 39 - 9x^2 + 18x - 9 = 0
\]

\[
-6x^2 + 3x + 30 = 0
\]

Chia cả hai vế cho -3:

\[
2x^2 - x - 10 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2}
\]

\[
= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{1 \pm 9}{4}
\]

Qua đó, ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2.5 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
\]

**Kiểm tra lại nghiệm \( x = 1 \)**:

Khi \( x = 1 \):

\[
(2(1)-5)^3 + (1+2)^3 = 27(1-1)^3 \implies (-3)^3 + 3^3 = 0.
\]

\( -27 + 27 = 0 \), nên \( x = 1 \) là cũng là nghiệm.

Tóm lại, các nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2.5, \quad x = -2, \quad x = 1.
\]