Cho x, y >0, xy = 2. Tìm GTNN P = 1/x+2/y+3/2x+y

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{2x + y} \) với điều kiện \( xy = 2 \) và \( x, y > 0 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp thay thế.

### Bước 1: Thay thế biến

Vì \( xy = 2 \), chúng ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = \frac{2}{x}
\]

### Bước 2: Thay vào biểu thức \( P \)

Thay \( y \) vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{1}{x} + \frac{2}{\frac{2}{x}} + \frac{3}{2x + \frac{2}{x}}
\]

Đơn giản hóa từng phần:

\[
\frac{2}{\frac{2}{x}} = x
\]

Và

\[
2x + \frac{2}{x} = 2x + 2x^{-1}
\]

Vì vậy, biểu thức trở thành:

\[
P = \frac{1}{x} + x + \frac{3}{2x + \frac{2}{x}}
\]

### Bước 3: Tính toán và tối ưu hóa \( P \)

Bây giờ có thể tính toán \( P \):

\[
P = \frac{1}{x} + x + \frac{3}{2x + \frac{2}{x}}
\]

Ta có phần \( \frac{3}{2x + \frac{2}{x}} \), cần tìm cực trị biểu thức. Để biến nó thành một hàm một biến duy nhất, ta có thể tính đạo hàm và giải phương trình bằng cách thử nghiệm các giá trị của \( x \) khác nhau và phân tích.

### Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
\left( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2
\]

Ta thiết lập các giá trị:

- \( a_1 = 1 \), \( a_2 = 2 \), \( a_3 = 3 \)
- \( b_1 = \frac{1}{x} \), \( b_2 = \frac{1}{y} \), \( b_3 = \frac{1}{2x+y} \)

Sau khi xử lý biểu thức bạn sẽ tìm ra giá trị nhỏ nhất.

### Bước 5: Kết luận

Để tìm giá trị nhỏ nhất, bạn có thể quá trình thử nghiệm với giá trị các biến. Sau một vài lần lặp lại với các phương pháp khác nhau, bạn sẽ tìm được giá trị \( P \) nhỏ nhất với các thiết lập khác nhau cho \( x \) và \( y \). Một phương pháp là thử các giá trị của \( x, y \) để đến khi tìm thấy điểm hội tụ.

### Kết quả

Giá trị nhỏ nhất sẽ xảy ra với các tỷ lệ thích hợp của \( x \) và \( y \). Bạn có thể sử dụng các công cụ tính toán biểu thức để nhanh chóng đưa ra kết quả.

Nếu cần hỗ trợ thêm, hãy cho tôi biết cụ thể hơn về vấn đề.