Để chứng minh các phần a), b), và c), chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### Phần a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

1. Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB và AC là các cạnh vuông góc.
2. M là trung điểm của BC, do đó \( BM = MC \).
3. D là điểm đối xứng của A qua M, nên \( AM = MD \) và các đoạn \( AM \) và \( MD \) là song song với nhau và cùng độ dài.
4. Ta sẽ chứng minh rằng các cạnh AB và CD song song và bằng nhau, và các cạnh AD và BC cũng song song và bằng nhau.

- **Chứng minh AB // CD**:
- Các đoạn thẳng AB và CD đều vuông góc với AM (do cả A và B đều nằm trên đường vuông góc với BC).
- Từ đó suy ra \( AB // CD \).

- **Chứng minh AD // BC**:
- Dễ dàng thấy rằng độ dài AB = CD (do D là đối xứng của A qua M), và BC = AD.

- Kết luận: Tứ giác ABCD có 2 cặp cạnh song song và bằng nhau, do đó ABCD là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành

1. Gọi E là điểm đối xứng của C qua A.
2. Ta có AE = AC và AE // AC (do AE là đường đối xứng qua A).
3. Giả sử AB // CD như trên đã chứng minh.
4. Ngoài ra, chúng ta có AD = BC từ phần a), đồng thời cũng có BE = AC (tại vì E là điểm đối xứng).
5. Ta có:
- AD // BE (vì AD = BC)
- AD = BE (do vừa nêu ở trên)
- Bằng hai cặp cạnh song song và bằng nhau, suy ra tứ giác ADBE là hình bình hành.

### Phần c: Chứng minh tam giác IKB cân

1. Gọi EM cắt AB tại K và cắt CD tại I.
2. Vẽ IH vuông góc với AB (H thuộc AB).
3. Để chứng minh tam giác IKB là tam giác cân, ta cần chứng minh \( IK = IB \).
4. Theo tính chất độ dài đoạn thẳng trong tứ giác ABCD (đặc biệt là hình chữ nhật và hình bình hành), ta có:
- Chúng ta có \( IM = KM \) (do M là trung điểm của BC).
- Do rằng DE là đường đối xứng, ta có \( DI = DA \).
5. Xét độ dài các cạnh:
- Ta có \( IK = IM \) (do EM là đường thẳng, với M là trung điểm)
- Do đó suy ra \( IK = IB \).
6. Kết luận: Với \( IK = IB \), ta có tam giác IKB là tam giác cân.

Từ các chứng minh trên, chúng ta đã hoàn thành các phần yêu cầu của bài toán.