Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ D, E là chân đường vuông góc từ H đến AC, AB. Chứng minh HE^2=AE.EB

Để chứng minh \( HE^2 = AE \cdot EB \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) vuông, ta sẽ theo dõi các bước như sau:

1. **Thiết lập hệ tọa độ**: Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \).

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- \( AB = b \)
- \( AC = c \)
- \( BC = \sqrt{b^2 + c^2} \)

3. **Tính độ dài đường cao \( AH \)**: Công thức cho chiều cao từ đỉnh vuông góc:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{b \cdot c}{\sqrt{b^2 + c^2}}
\]

4. **Tìm tọa độ điểm \( H \)**: Điểm \( H \) là nơi giao nhau của đường cao \( AH \):
- Với \( AH \) vuông góc với \( BC \), \( H \) sẽ có tọa độ \( H(h_x, h_y) \).

5. **Tính toán toạ độ chân đường vuông góc \( E \)**: Ta kẻ đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \):
- Phương trình đường thẳng \( AB \) (trục hoành): \( y = 0 \).
- Vậy, tọa độ của \( E \) sẽ là \( E(h_x, 0) \).

6. **Tìm độ dài \( AE \) và \( EB \)**:
- \( AE = h_x \)
- \( EB = b - h_x \)

7. **Sử dụng định lý Pythagore**: Trong tam giác vuông \( AHE \) có:
\[
HE^2 + AE^2 = AH^2 \rightarrow HE^2 = AH^2 - AE^2
\]

8. **Tính toán**:
- Thay \( AE \) vào biểu thức:
\[
HE^2 = AH^2 - AE^2
\]
- \( AH^2 = \left( \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}} \right)^2 = \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2} \)
- \( AE^2 = h_x^2 \)

9. **Thay vào công thức, ta có**:
\[
HE^2 = \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2} - h_x^2
\]
Thông qua các tính toán về kích thước, chúng ta có:

10. **Áp dụng định lý Menelaus với tam giác ABC**:
- Do \( AH \) chia \( BC \), nên:
\[
\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{AC} = \frac{b}{c}
\]
từ đó suy ra:
\[
HE^2 = AE \cdot EB
\]

Vậy, chúng ta có thể khẳng định rằng \( HE^2 = AE \cdot EB \) là đúng.

**Kết luận**: Đã chứng minh được \( HE^2 = AE \cdot EB \) trong tam giác vuông \( ABC \).