Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh I cách đều 3 điểm D, F, E

1. **Xác định vị trí của các điểm**:
- Giả sử tam giác ABC có cạnh bằng a và tọa độ các điểm là:
- A(0, h)
- B(-a/2, 0)
- C(a/2, 0)
- Điểm M nằm trên đoạn BC, do đó nó có tọa độ M(x, 0) với \( -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} \).

2. **Tìm tọa độ điểm E và F**:
- E là chân đường vuông góc từ M đến AB. Ta có thể tìm phương trình đường thẳng AB và từ M dựng một đường vuông góc và tìm tọa độ E.
- F là chân đường vuông góc từ M đến AC. Tương tự, ta tìm phương trình đường thẳng AC và dựng đường vuông góc để tìm tọa độ F.

3. **Tìm tọa độ trung điểm D và I**:
- D là trung điểm của BC, do đó tọa độ D sẽ là \( D(0, 0) \).
- I là trung điểm của AM, nên tọa độ I được tính bằng:
\[
I = \left( \frac{0 + x}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( \frac{x}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

4. **Chứng minh khoảng cách ID = IE = IF**:
- Tính các khoảng cách \( ID \), \( IE \) và \( IF \):
- Từ công thức khoảng cách điểm, ta tính \( ID \), \( IE \), và \( IF \). Các phép tính này sẽ cho thấy rằng \( ID = IE = IF \).

### b) Tính số đo góc DIE

1. **Tính góc DIE**:
- Ta cần tính góc giữa các đường thẳng \( DI \) và \( IE \).
- Đầu tiên, tính vector \( \overrightarrow{DI} \) và \( \overrightarrow{IE} \).
- Sử dụng định nghĩa của góc giữa hai vector (cosin của góc giữa chúng bằng thương số của tích vô hướng và độ dài của chúng).

### c) Chứng minh DEIF là hình thoi

1. **Chứng minh DE = IF** và **DF = EI**:
- Sử dụng tính đối xứng của tam giác đều, cùng với định nghĩa và tính chất của các điểm chữa các đường vuông góc.
- Khi đó, có thể sử dụng khoảng cách đã tính trước để chứng minh \( DE = IF \) và \( DF = EI \).

2. **Chứng minh các góc DFE và DIT bằng nhau**:
- Sử dụng tính chất đáy của hình thoi và các góc vuông.

Cuối cùng, nhớ là mọi tính toán, khoảng cách và góc phải dựa trên các công thức hình học và các định nghĩa cơ bản về tam giác đều. Nếu bạn muốn chi tiết từng bước trong tính toán, vui lòng cho tôi biết và tôi sẽ giúp bạn đi sâu vào từng phần!