Để giải phương trình

\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{2}{3} = -\frac{5}{48},
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau.

**Bước 1: Cộng \(\frac{2}{3}\) vào cả hai vế của phương trình:**

\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} = -\frac{5}{48} + \frac{2}{3}.
\]

**Bước 2: Chuyển đổi \(\frac{2}{3}\) sang mẫu số 48:**

\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 16}{3 \times 16} = \frac{32}{48}.
\]

**Bước 3: Thay vào phương trình:**

\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} = -\frac{5}{48} + \frac{32}{48} = \frac{27}{48}.
\]

**Bước 4: Chia cả hai vế cho \(\frac{27}{48}\):**

\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{27}{48} \implies x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{27}{48}}.
\]

**Bước 5: Rút gọn \(\sqrt{\frac{27}{48}}\)**:

\[
\sqrt{\frac{27}{48}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}.
\]

**Bước 6: Giải cho \(x\)**:

Ta có hai trường hợp:

1. \(x - \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2. \(x - \frac{1}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

**Trường hợp 1:**

\[
x = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}.
\]

**Trường hợp 2:**

\[
x = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4}.
\]

### Kết luận

Giá trị của \(x\) là:

\[
x = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4}.
\]