Tính (1+(1)/(2)+...+(1)/(2021))x+2021=(2022)/(1)+(2023)/(2)+...+(4042)/(2021)

Để giải phương trình đã cho:

\[
\left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2021} \right)x + 2021 = \frac{2022}{1} + \frac{2023}{2} + \cdots + \frac{4042}{2021}
\]

Trước tiên, tính giá trị \( S = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2021} \), đây là tổng các số hạng phân số từ 1 đến \( \frac{1}{2021} \).

Tiếp theo, tính tổng ở phía bên phải:

\[
\frac{2022}{1} + \frac{2023}{2} + \cdots + \frac{4042}{2021}
\]

Ta có thể viết tổng này lại theo công thức:

\[
\sum_{k=1}^{2021} \frac{2021+k}{k} = \sum_{k=1}^{2021} \left( \frac{2021}{k} + 1 \right) = 2021 \sum_{k=1}^{2021} \frac{1}{k} + 2021
\]

Nên,

\[
\frac{2022}{1} + \frac{2023}{2} + \cdots + \frac{4042}{2021} = 2021 S + 2021
\]

Giờ đây, phương trình ban đầu trở thành:

\[
Sx + 2021 = 2021S + 2021
\]

Sau đó, ta rút gọn phương trình:

\[
Sx = 2021S
\]
\[
x = 2021 \quad (S \neq 0)
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{2021}
\]