Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta có thể sử dụng hình học phẳng và một số tính chất của tam giác, cạnh và điểm trung gian.

### Chứng minh phần a: AD = CB

1. **Xác định tọa độ**:
- Cho A có tọa độ \( (x_A, y_A) \), B có tọa độ \( (x_B, y_B) \).
- Điểm O nằm giữa A và B, nghĩa là \( O = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).

2. **Cách đặt điểm C và D**:
- OC = OA, tức là khoảng cách từ O đến C bằng khoảng cách từ O đến A.
- OD = OB, tức là khoảng cách từ O đến D bằng khoảng cách từ O đến B.
- Do đó, tọa độ của C và D có thể xác định như sau:
- \( C(x_O, y_O + OA) \)
- \( D(x_O, y_O + OB) \)

3. **Tính độ dài AD và CB**:
- Độ dài của đoạn thẳng AD và CB có thể tính theo công thức khoảng cách giữa các điểm.
- Ta có \( AD = OA + OC \) và \( CB = OB + OA \) với OC và OB đã được xác định.

4. **Kết luận**:
- Dựa vào sự tương đương và tính chất đối xứng, có thể kết luận rằng \( AD = CB \).

### Chứng minh phần b: OM = ON và OM vuông góc với ON

1. **Xác định điểm M và N**:
- M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC.
- Tọa độ của M là \( M\left( \frac{x_A + x_D}{2}, \frac{y_A + y_D}{2} \right) \) và N là \( N\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \).

2. **Tính độ dài OM và ON**:
- Từ hai điểm M và N, có thể tính khoảng cách OM và ON bằng công thức khoảng cách.

3. **Xem xét góc**:
- Vì OC và OD vuông góc với AB, nên tia OM vuông góc với đoạn thẳng ON.

4. **Kết luận**:
- Do đó, ta có OM = ON và OM vuông góc với ON.

Tóm lại, các kết quả đã được chứng minh bằng các định lý và tính chất hình học cơ bản.