Để tìm diện tích lớn nhất của hình bình hành được cắt ra từ một miếng tôn hình tam giác với diện tích \( S \), chúng ta có thể áp dụng một số kiến thức về hình học và tối ưu hóa.

Giả sử tam giác có các đỉnh là \( A, B, C \), và ba cạnh là \( BC, CA, AB \). Hình bình hành mà chúng ta cắt ra có một đỉnh là \( A \), hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh \( AB \) và \( AC \), và đỉnh thứ ba nằm trên cạnh \( BC \). Đặt các đỉnh của hình bình hành lần lượt là \( A \), \( D \), \( E \), và \( F \).

Theo định lý về diện tích của hình bình hành, diện tích của hình bình hành \( DEFG \) (trong trường hợp này là \( DEFG = [ADEF] \)) sẽ phụ thuộc vào chiều cao từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( DE \) và đáy \( DE \) của hình bình hành.

Khi cắt ra một hình bình hành từ tam giác, các cạnh của hình bình hành sẽ được giới hạn bởi các cạnh của tam giác. Từ các lý thuyết hình học, người ta có thể chứng minh rằng:
- Diện tích tối đa của hình bình hành trong tam giác với một đỉnh là đỉnh của tam giác và ba đỉnh còn lại nằm trên các cạnh của tam giác bằng \( \frac{2}{3} S \).

Kết luận: Diện tích của hình bình hành cực đại được cắt ra từ một tam giác có diện tích \( S \) là:

\[
S_{max} = \frac{2}{3} S
\]

Do đó, nếu diện tích của tam giác là \( S \), thì diện tích lớn nhất của hình bình hành mà thợ làm biển quảng cáo có thể cắt ra là \( \frac{2}{3} S \).