Tính tỉ số a/b biết A=1/2+1/3+1/4+1/5+....+1/2009 và B=2008/1+2007/2+2006/3+...+1/2008

Để tính tỷ số \( \frac{A}{B} \) với \( A \) và \( B \) được định nghĩa như sau:

\[
A = \sum_{n=2}^{2009} \frac{1}{n}
\]

\[
B = \sum_{k=1}^{2008} \frac{2009 - k}{k} = \sum_{k=1}^{2008} \left( \frac{2009}{k} - 1 \right)
\]

Chúng ta có thể tách \( B \) thành hai tổng:

\[
B = 2009 \sum_{k=1}^{2008} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{2008} 1
\]

\[
B = 2009 \sum_{k=1}^{2008} \frac{1}{k} - 2008
\]

Gọi \( H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \) là tổng hàm số điều hòa, ta có:

\[
A = H_{2009} - 1
\]

\[
B = 2009 H_{2008} - 2008
\]

Vậy nên, tỷ số \( \frac{A}{B} \) sẽ là:

\[
\frac{A}{B} = \frac{H_{2009} - 1}{2009 H_{2008} - 2008}
\]

Sử dụng mối quan hệ giữa \( H_{2009} \) và \( H_{2008} \):

\[
H_{2009} = H_{2008} + \frac{1}{2009}
\]

Thay vào công thức \( A \):

\[
A = H_{2008} + \frac{1}{2009} - 1 = H_{2008} - 1 + \frac{1}{2009}
\]

Tổng kết:

\[
\frac{A}{B} = \frac{H_{2008} - 1 + \frac{1}{2009}}{2009 H_{2008} - 2008}
\]

Tìm \( \frac{A}{B} \) dẫn đến:

Tại đây ta có thể nhận thấy \( \frac{A}{B} \) không dễ dàng rút gọn hơn mà cần tính toán cụ thể. Tuy nhiên, số có thể đưa ra ước lượng hoặc tính ẩn số với \( H_n \).

Nếu bạn cần muốn có giá trị cụ thể cuối cùng cho \( \frac{A}{B} \), có thể tính toán \( H_{2008} \) và thế số vào biểu thức cuối cùng.

Tuy vậy, cách tính trên cho thấy rằng \( \frac{A}{B} \) có thể bộc lộ được qua hàm số nhiều. Với các phép biến đổi, có được một hệ thức giữa các thành phần A và B dễ quản lý hơn.