Để rút gọn biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\left( \frac{x}{y} + 1 \right)^2}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \cdot \frac{\frac{x^3}{y^3} - 1}{\frac{x^2}{y^2} + \frac{x}{y} + 1} : \frac{\frac{x^3}{y^3} + 1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1}
\]

### Bước 1: Thay các biểu thức

Gọi \( z = \frac{x}{y} \), thì:

\[
A = \frac{(z + 1)^2}{z - \frac{y}{x}} \cdot \frac{z^3 - 1}{\frac{x^2}{y^2} + z + 1} \div \frac{z^3 + 1}{z + \frac{y}{x} - 1}
\]

### Bước 2: Rút gọn các phần của biểu thức

- **Tính toán phần tử số:**

\[
(z + 1)^2 = z^2 + 2z + 1
\]

- **Phần tử mẫu của phân số đầu tiên:**

\[
z - \frac{y}{x} = z - \frac{1}{z}
\]
\[
= \frac{z^2 - 1}{z}
\]

- **Phần tử số thứ hai là \( z^3 - 1 \) có thể viết thành:**

\[
z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)
\]

- **Phần mẫu thứ hai:**

\[
\frac{x^2}{y^2} + z + 1 = \frac{1}{z^2} + z + 1 = \frac{1 + z^3 + z^2}{z^2}
\]

### Bước 3: Thay và đơn giản hóa

Sau khi thay tất cả các yếu tố vào, bạn sẽ có một biểu thức duy nhất có thể rút gọn. Nó có thể trông phức tạp nhưng bạn có thể tiếp tục thực hiện thao tác đại số để tìm ra dạng đơn giản hơn.

### Kết luận

Quá trình này có thể phức tạp, nhưng bạn có thể lần lượt thay đổi và rút gọn từng phần tới khi biểu thức đạt dạng tối giản. Hãy chắc chắn rằng bạn đã kiểm tra từng bước và điều chỉnh lại những thay thế cho thích hợp!