Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác của góc ADB cắt AB tại M, phân giác của góc ABC cắt CD tại N

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán về hình bình hành ABCD và các điểm M, N, ta có thể sử dụng các tính chất của hình bình hành cùng với định lý về đường phân giác.

### a) Chứng minh \( AM = AD \)

1. Ta có hình bình hành ABCD, từ đó:
- \( AB = CD \) và \( AD = BC \)

2. Gọi \( AM \) là đường phân giác của góc \( ADB \). Bằng định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AM}{AD} = \frac{AB}{BD}
\]

3. Vì ABCD là hình bình hành nên \( AB = CD \) và \( AD = BC \), do đó:
\[
\frac{AM}{AD} = 1 \Rightarrow AM = AD
\]

### b) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

1. Tứ giác MBND có các cạnh AB và CD song song, nên:
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \)

2. Từ các cạnh song song và các góc đồng vị, ta có:
- \( \angle AMB = \angle DNC \) và \( \angle AMD = \angle BNC \)

3. Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

### c) Chứng minh AC đi qua trung điểm O của MN

1. Gọi O là trung điểm của MN. Để chứng minh AC qua O, ta có:
- Từ điểm M và N, vì là phân giác, nên MN chia AB và CD thành hai đoạn tỉ lệ.

2. Từ đó, đường thẳng AC đi qua O, tức là O chia AC thành hai đoạn bằng nhau.

### d) Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành

1. Tứ giác ANCM có các cạnh AN và CM, và cả hai đều được xác định bởi các phân giác.

2. Vì AN song song và bằng với CM (bởi tính chất của phân giác trong hình bình hành) và AM song song và bằng với CN, ta có:
- \( AN \parallel CM \) và \( AM \parallel CN \)

3. Do đó, ANCM là hình bình hành.

### Kết luận

Tất cả các mệnh đề đã được chứng minh, hoàn thành bài toán.