Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh SABC = 1/2BC^2/cotB+cotC

Để chứng minh diện tích của tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) là \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \frac{BC^2}{\cot B + \cot C} \), chúng ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông.

1. **Đặt ký hiệu:**
- Gọi \( a = BC \) (độ dài cạnh huyền).
- \( AB = c \) và \( AC = b \) là hai cạnh góc vuông.
- \( B \) và \( C \) lần lượt là các góc tại đỉnh \( B \) và đỉnh \( C \).

2. **Diện tích của tam giác:**
Diện tích của tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) được tính theo công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c
\]

3. **Công thức lượng giác cho các góc:**
Trong tam giác vuông, ta có:
\[
\cot B = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}
\]
\[
\cot C = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}
\]

4. **Tính \( \cot B + \cot C \):**
\[
\cot B + \cot C = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{b^2 + c^2}{bc}
\]

Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2 \implies b^2 + c^2 = a^2
\]

Do đó:
\[
\cot B + \cot C = \frac{a^2}{bc}
\]

5. **Thay vào công thức diện tích:**
Từ \( S_{ABC} = \frac{1}{2} bc \), chúng ta sẽ viết lại theo hồi số:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} bc = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \frac{bc}{a^2} \cdot \frac{a^2}{\cot B + \cot C}
\]
Mà từ \( a^2 = b^2 + c^2 \), ta có thể thay vào:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{\cot B + \cot C}
\]

6. **Cuối cùng:**
Kết quả trên cho thấy:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \frac{BC^2}{\cot B + \cot C}
\]
Như vậy, đã chứng minh được rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \frac{BC^2}{\cot B + \cot C}
\]

Chúc mừng bạn đã hoàn thành chứng minh!