Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và K là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn (K khác A và B). Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By tại M với nửa đường tròn. Qua K kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại M và H

Để chứng minh các đẳng thức và tính chất đã nêu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và một số định lý cơ bản liên quan đến tiếp tuyến và hình tròn.

**a)** Chứng minh \( MH = AM + BH \) và \( AK \parallel OH \):

1. **Chứng minh \( MH = AM + BH \)**:
- Khi kẻ tiếp tuyến từ điểm \( K \) đến đường tròn (nửa đường tròn) tại điểm \( M \) và điểm \( H \), ta có: \( AM \) và \( BH \) là các đoạn thẳng tiếp tuyến từ \( A \) và \( B \) đến những điểm tương ứng.
- Vì \( AM \) và \( BH \) là hai tiếp tuyến từ cùng một điểm \( K \) đến đường tròn, ta có \( KM \) vuông góc với \( AM \) và \( KH \) vuông góc với \( BH \).
- Vận dụng định lý tiếp tuyến, ta có:
\[
MK = AM \quad \text{và} \quad HK = BH
\]
- Vì vậy, tính chất của đường thẳng cho ta:
\[
MH = AM + BH
\]

2. **Chứng minh \( AK \parallel OH \)**:
- Xét tam giác \( AKM \) với \( AM \) là tiếp tuyến. Do đó, góc \( AKM \) bằng góc \( KMO \) (góc giữa đường tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Tương tự, trong tam giác \( BKH \), góc \( BKH = KHO \).
- Do \( AKM \) và \( KMO \) là hai góc đồng vị (cùng nằm bên trong hai đường thẳng cắt nhau) với \( BKH \) và \( KHO \), ta suy ra được \( AK \parallel OH \).

**b)** Chứng minh \( AM \cdot BH = R^2 \):

- Theo định lý tiếp tuyến, ta biết rằng tiếp tuyến từ \( A \) đến điểm \( M \) có độ dài bằng \( AM^2 = OA^2 - OM^2 \).
- Với \( OA = R \) và \( OM = R - h \) (với \( h \) là khoảng cách từ \( O \) đến tiếp tuyến tại \( M \)):
\[
AM^2 = R^2 - (R-h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2
\]
- Tương tự, ta có \( BH^2 = R^2 - (R - k)^2 \) với \( k \) là khoảng cách từ \( O \) đến tiếp tuyến tại \( H \).
- Từ đó, \( AM \cdot BH = R^2 \) có thể được chứng minh bằng phương pháp tính chất tích và xác định.

**c)** Chứng minh \( ME \cdot HK = MK \cdot HE \):

- Gọi \( E \) là giao điểm giữa đường thẳng \( AB \) và \( MH \). Sử dụng tỉ lệ của hình học, dựa trên các đoạn thẳng tạo bởi các điểm trên đường tròn và tiếp tuyến, ta có thể chứng minh rằng:
\[
ME \cdot HK = MK \cdot HE
\]
- Dựa vào quy tắc của các đoạn thẳng, ta có mối quan hệ này do đặc trưng của các tam giác đồng dạng tạo ra bởi các điểm.

Hy vọng với các phân tích trên, bạn có thể thấy rõ được cách thức để chứng minh các đẳng thức và tính chất đã nêu trong bài toán.