So sánh A và 1/3

Để so sánh A với \( \frac{1}{3} \), trước hết ta cần tính giá trị của A:

\[
A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \ldots + \frac{1}{2^{2023}}
\]

Đây là một chuỗi hình học có dạng:

\[
A = \sum_{n=1}^{1011} \frac{1}{2^{2n}}
\]

Với \( a = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \), và công bội \( r = \frac{1}{4} \).

Số hạng cuối cùng khi \( n = 1011 \) là:

\[
\frac{1}{2^{2022}}
\]

Số lượng số hạng \( n = 1011 \), do đó, tổng của chuỗi hình học được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

\[
A = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{1011}}{1 - \frac{1}{4}}
\]

\[
= \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{1}{4^{1011}}}{\frac{3}{4}}
\]

\[
= \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^{1011}} \right)
\]

\[
= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^{1011}} \right)
\]

Khi \( n \to \infty \), \( \frac{1}{4^{1011}} \) sẽ rất nhỏ và có thể gần như bỏ qua. Do đó, \( A \) rất gần với \( \frac{1}{3} \) nhưng không bằng.

Vì vậy, ta có thể kết luận:

\[
A < \frac{1}{3}
\]

Tóm lại, \( A \) nhỏ hơn \( \frac{1}{3} \).