Giải phương trình: \((x + 2)^3 + (3x - 1)^2 = 5x(3x + 1) + 11\)

Để giải phương trình \((x + 2)^3 + (3x - 1)^2 = 5x(3x + 1) + 11\), chúng ta thực hiện các bước như sau:

1. **Mở rộng các biểu thức ở cả hai vế:**

- Tính \((x + 2)^3\):
\[
(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
\]

- Tính \((3x - 1)^2\):
\[
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1
\]

- Tính \(5x(3x + 1)\):
\[
5x(3x + 1) = 15x^2 + 5x
\]

2. **Thay các biểu thức vào phương trình:**
\[
x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + 9x^2 - 6x + 1 = 15x^2 + 5x + 11
\]

3. **Kết hợp các hạng tử cùng loại:**
\[
x^3 + (6x^2 + 9x^2) + (12x - 6x) + (8 + 1) = 15x^2 + 5x + 11
\]
\[
x^3 + 15x^2 + 6x + 9 = 15x^2 + 5x + 11
\]

4. **Chuyển hết về một vế:**
\[
x^3 + 15x^2 + 6x + 9 - 15x^2 - 5x - 11 = 0
\]
\[
x^3 + (6x - 5x) + (9 - 11) = 0
\]
\[
x^3 + x - 2 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc ba \(x^3 + x - 2 = 0\):**
- Tìm nghiệm thử bằng phương pháp thử nghiệm các giá trị nguyên.
- Thử \(x = 1\):
\[
1^3 + 1 - 2 = 0
\]
Nghiệm \(x = 1\) là một nghiệm.

6. **Phân tích đa thức \(x^3 + x - 2\):**
Sử dụng phép chia đa thức để tìm bậc hai còn lại:
\[
x^3 + x - 2 = (x - 1)(x^2 + x + 2)
\]

7. **Giải phương trình bậc hai \(x^2 + x + 2 = 0\):**
- Tính discriminant:
\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7
\]
- Vì \(D < 0\), phương trình này không có nghiệm thực.

8. **Kết luận:**
Phương trình \((x + 2)^3 + (3x - 1)^2 = 5x(3x + 1) + 11\) chỉ có nghiệm thực là \(x = 1\).