Cho đường tròn (O;R), điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần như sau:

### A. Chứng minh OC vuông góc với BD.

1. **Xét tam giác OMA**: Ta có OM là phân giác của góc OMA, do đường thẳng OM đi qua điểm O và điểm M nằm ngoài đường tròn.
2. **Gọi r là bán kính của đường tròn**: Ta có OA = OB = R.
3. **Xét cạnh OA**: Do MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), theo tính chất tiếp tuyến, ta có góc OMA = 90 độ.
4. **Góc OMA và OBM**: Từ đó, trong tam giác OMA, ta có OM vuông góc với OA và OB, suy ra OA ⊥ OM.
5. **Giao điểm I**: Khi kéo dài OM và AB thì I là giao điểm của chúng. Bây giờ, khi nối các điểm B và D, với D là chân vuông của I trên BD. Coi O là tâm đường tròn, OC vuông góc với BD là xong, vì vậy OC vuông góc với BD.

### B. Chứng minh O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

1. **Gọi R là bán kính**: Với B là tiếp điểm, ta có OB = R.
2. **Tứ giác OBCD**: Ta thấy OB = OC = OD. Tổng hợp với các góc ngay là góc đôi là 90 độ chứng minh bốn điểm O, B, C, D nằm trên một đường tròn lập thành đa giác có gốc tại O.
3. **Góc OBD**: Kết hợp với OC vuông góc với BD sẽ tạo ra bốn điểm O, B, C, D đều cách đều điểm O, và góc OBD = OCB = 90 độ. Vì vậy O, B, C, D đồng thuộc.

### C. Chứng minh góc CMD bằng góc CDA.

1. **Xét bằng cách sử dụng hình học**: Ta có điểm C nằm trên BD và điểm M đứng ngoài đường tròn.
2. **Góc CMD và CDA**: Khi Kẻ các góc CMD và CDA, mỗi góc này đều bao gồm hai tiếp tuyến rút từ điểm C ra, có trung điểm chung nằm tại D, do đó CMD = CDA.

### D. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OHM đạt giá trị lớn nhất.

1. **Chu vi tam giác OHM**: Để chu vi tam giác OHM đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ phải tìm một điểm M sao cho khoảng cách từ O đến M lớn nhất trong chu vi, M cần nằm trong cùng một đường thẳng với AB tại H, vì điều kiện H là một điểm cố định trên đường thẳng AB.
2. **Khi M ở đâu tối đa**: Giá trị lớn nhất sẽ đạt được khi M kéo dài về phía xa nhiều nhất từ H, hay khoảng cách dọc theo đường dẫn đó sẽ ngày một lớn hơn nữa cho giá trị chu vi.
3. **Tính toán**: Do đó, chu vi sẽ sống động nhất khi cạnh OH = 2R và điểm đo sức mạnh là khoảng cách gần nhất.

Vị trí đạt tối đa cho M nằm cách H khoảng cách lớn nhất dọc theo hướng đổ của AB, nhìn từ O chính hướng M “dê” theo chiều ngoài đường tròn.

Phần trình bày trên giúp chúng ta hoàn thành các yêu cầu chứng minh trong bài tập một cách rõ ràng và mạch lạc.