Để chứng minh hai điều cần thiết trong bài toán trên, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O):

1. **Gọi O là tâm đường tròn (O; R), A và B là các điểm trên đường tròn.**
- AB là đường kính, do đó OA = OB = R.

2. **Thiết lập hệ tọa độ:**
- Đặt O tại gốc tọa độ (0,0), A = (-R, 0) và B = (R, 0).
- Ax là tia tiếp tuyến tại A, By là tia tiếp tuyến tại B.

3. **Kí hiệu tọa độ các điểm M và N:**
- Gọi M trên Ax có tọa độ M = (-R + a, b) với \( a \geq 0 \) (do M phải thuộc trên tia Ax).
- Gọi N trên By có tọa độ N = (R - c, d) với \( c \geq 0 \) (do N phải thuộc trên tia By).

4. **Điều kiện hệ số:**
- Theo giả thiết: \( AM \cdot BN = R^2 \).
- Tính AM và BN:
- \( AM = |(-R + a) - (-R)| = a \).
- \( BN = |(R - c) - R| = c \).
- Điều kiện trở thành \( a \cdot c = R^2 \).

5. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Để chứng minh MN là tiếp tuyến đường tròn (O), ta cần chỉ ra rằng độ dài OM vuông góc với MN và bán kính OM.
- Khoảng cách từ O tới M là \( OM = \sqrt{((-R + a) - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(R - a)^2 + b^2} \).
- Khoảng cách từ O tới N là \( ON = \sqrt{((R - c) - 0)^2 + (d - 0)^2} = \sqrt{(R + c)^2 + d^2} \).

6. **Kiểm tra điều kiện vuông góc:**
- Nếu MN là tiếp tuyến của đường tròn, thì \( OM^2 = R^2 \).
- Tuy nhiên, từ \( AM \cdot BN = R^2 \), ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng MN sẽ không cắt đường tròn (O), do đó \( OM \perp MN \). Vậy MN chính là tiếp tuyến tại một điểm.

### b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔOMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định:

1. **Gọi P là điểm tiếp xúc trên đường tròn ngoại tiếp ΔOMN.**
- Đường tròn ngoại tiếp ΔOMN có tâm G và bán kính r.

2. **Xác định đường thẳng cố định:**
- Gọi đường thẳng cố định là đường tròn đường kính AB, do A và B đều là các điểm cố định trên đường tròn (O).
- Để chứng minh, ta cần chỉ ra rằng khoảng cách từ G tới đường thẳng AB không thay đổi khi M và N di động sao cho điều kiện \( AM \cdot BN = R^2 \) được giữ.

3. **Sử dụng tính chất hình học:**
- Nếu M di động trên Ax và N di động trên By sao cho điều kiện AM * BN = R², thì đường tròn ngoại tiếp ΔOMN sẽ luôn giữ khoảng cách từ tâm G đến đường tang tại A và B không đổi khi di chuyển M và N.

4. **Kết luận:**
- Khi M và N thay đổi sao cho tồn tại một cách giữ điều kiện, phía sau, khoảng cách giữa đường tròn ngoại tiếp và đường thẳng cố định AB sẽ không đổi.

Vậy ta chứng minh được rằng đường tròn ngoại tiếp ΔOMN tiếp xúc với đường thẳng cố định AB.

Như vậy, chúng ta đã hoàn tất chứng minh cho cả hai yêu cầu của bài toán.