Để tìm giá trị của số nguyên \( x \) thỏa mãn các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \( x^4 = 16 \)

Từ phương trình này, ta có:
\[
x^4 = 16
\]
Nếu lấy căn bậc 4 hai bên, ta có:
\[
x = \pm \sqrt[4]{16}
\]
Vì \( 16 = 2^4 \), ta có:
\[
x = \pm 2
\]
Vậy giá trị số nguyên thỏa mãn là:
\[
x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2
\]

### b) \( x + \frac{1}{2} = \frac{2}{x + 1} \)

Đầu tiên, nhân cả hai vế với \( 2(x + 1) \) để loại bỏ mẫu số:
\[
2(x + \frac{1}{2})(x + 1) = 2
\]
Từ đó ta có phương trình:
\[
2(x^2 + x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}) = 2
\]
Giản lược phương trình trên:
\[
2(x^2 + \frac{3x}{2} + \frac{1}{2}) = 2
\]
Rút gọn:
\[
x^2 + \frac{3x}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0
\]
Hay:
\[
x^2 + \frac{3x - 1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 3x - 1 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}
\]
Tuy nhiên, \( \sqrt{17} \) không phải là số nguyên, do đó không có nghiệm nguyên cho phương trình này.

### c) \( \frac{(x - 2)^2}{7} = \frac{49}{x - 2} \)

Nhân cả hai vế với \( 7(x - 2) \) (với điều kiện \( x \neq 2 \)):
\[
(x - 2)^2 \cdot (x - 2) = 49 \cdot 7
\]
Khi đó:
\[
(x - 2)^3 = 343
\]
Giải phương trình:
\[
x - 2 = \sqrt[3]{343}
\]
Vì \( 343 = 7^3 \), ta có:
\[
x - 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 9
\]
Vậy giá trị số nguyên thỏa mãn là:
\[
x = 9
\]

### Kết luận
- Phương trình a) có nghiệm: \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \).
- Phương trình b) không có nghiệm nguyên.
- Phương trình c) có nghiệm: \( x = 9 \).