Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
\frac{4}{x} = |y| = 2 \\
\frac{6}{x} = |y| = 3
\end{cases}
\]

ta sẽ giải từng phương trình trong hệ.

1. Từ phương trình đầu tiên \(\frac{4}{x} = 2\):

\[
\frac{4}{x} = 2 \implies 4 = 2x \implies x = 2
\]

Với \(x = 2\), tìm giá trị của \(|y|\):

\[
|y| = 2
\]

Nên \(y = 2\) hoặc \(y = -2\).

2. Từ phương trình thứ hai \(\frac{6}{x} = 3\):

\[
\frac{6}{x} = 3 \implies 6 = 3x \implies x = 2
\]

Với \(x = 2\), tìm giá trị của \(|y|\):

\[
|y| = 3
\]

Nên \(y = 3\) hoặc \(y = -3\).

Như vậy, chúng ta có \(x = 2\) với hai giá trị khác nhau cho \(|y|\):

- Từ phương trình đầu tiên, \(|y| = 2\) dẫn đến \(y = 2\) hoặc \(y = -2\).
- Từ phương trình thứ hai, \(|y| = 3\) dẫn đến \(y = 3\) hoặc \(y = -3\).

### Kết luận:
Khi \(x = 2\), không có giá trị nào của \(y\) thỏa mãn cả hai phương trình trong hệ, vì tác động của \(|y|\) từ hai phương trình khác nhau.

Vì vậy, hệ phương trình này **vô nghiệm**.