Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a)** Tính diện tích tam giác \( ABC \) và cạnh \( MN \).

1. **Diện tích tam giác \( ABC \)**:
- Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), với \( AH \) là chiều cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Chiều cao \( AH = 6 \) cm và độ dài cạnh \( BC = 12 \) cm.
- Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36 \text{ cm}^2.
\]

2. **Cạnh \( MN \)**:
- \( M \) và \( N \) là trung điểm của cạnh \( AB \) và \( AC \) tương ứng.
- Vì \( ABC \) là tam giác cân, nên đoạn thẳng \( MN \) (đoạn nối hai trung điểm) sẽ song song với cạnh \( BC \) và bằng một nửa độ dài của cạnh \( BC \):
\[
MN = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ cm}.
\]

**b)** Chứng minh tứ giác \( AHBE \) là hình chữ nhật.

- \( E \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( M \).
- Từ \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AM = MB \).
- Chọn các điểm:
- Điểm \( H \) nằm trên đoạn thẳng \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Điểm \( H \) nằm trong tứ giác, \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \).

- Khi đó, điểm \( E \) sẽ nằm trên đường thẳng song song với \( AB \) (do tính đối xứng) và đồng thời cũng bằng khoảng cách \( AH \).

- Do đó, chiều cao của \( AH \) và chiều cao của \( HE \) (qua tính đối xứng) là giống nhau, nghĩa là \( AH \parallel HE \) và \( AE \parallel BH \).

- Vì \( AH \) và \( BE \) là các đường vuông góc và \( AH \parallel HE \), ta kết luận rằng tứ giác \( AHBE \) là hình chữ nhật.

**c)** Chứng minh tứ giác \( ABFC \) là hình thoi.

- Điểm \( F \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( H \).
- Đối xứng qua \( H \) nghĩa là độ dài \( AH = HF \) và \( AF = AH \).
- Tổng của cạnh \( AB \) và cạnh \( AF \) có chiều dài bằng nhau. Tương tự, \( AC \) và \( CF \) cũng bằng nhau.
- Vậy tất cả các cạnh \( AB, BF, AC, CF \) đều bằng nhau, do đó tứ giác \( ABFC \) là hình thoi.

**d)** Chứng minh \( BK \) vuông góc với \( IF \).

- Gọi \( H \) là hình chiếu của \( H \) lên \( FC \). Điểm \( I \) là trung điểm của \( HK \).
- Vì \( H \) nằm trên \( FC \), suy ra \( HK \) sẽ vuông góc với \( FC \).

- Khi đó, \( BK \) là cạnh đối của hình thoi \( ABFC \) mà đã chứng minh ở phần trước là hình thoi, sẽ vuông góc với \( H \).

Như vậy, ta có thể kết luận \( BK \) vuông góc với \( IF \).

Tóm lại, ta chứng minh được rằng:
- Diện tích tam giác \( ABC = 36 \) cm².
- Cạnh \( MN = 6 \) cm.
- Tứ giác \( AHBE \) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \( ABFC \) là hình thoi.
- \( BK \) vuông góc với \( IF \).