Để chứng minh rằng hai số \(2024^n - 1\) và \(2024^n + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên tố và tính chất của số chẵn và số lẻ.

1. **Phân tích các số \(2024^n - 1\) và \(2024^n + 1\)**:
- Số \(2024^n - 1\) là một số lẻ vì \(2024\) là một số chẵn, và một số chẵn lũy thừa sẽ luôn là chẵn. Do đó, \(2024^n\) sẽ là chẵn và thuốc tính:
\[
2024^n - 1 \text{ là lẻ}
\]
- Số \(2024^n + 1\) cũng là một số lẻ. Tương tự như trên, ta thấy \(2024^n + 1\) là chẵn cộng một, nghĩa là:
\[
2024^n + 1 \text{ cũng lẻ}
\]

2. **Nếu cả hai số đều là số nguyên tố**:
- Giả sử \(p_1 = 2024^n - 1\) là số nguyên tố và \(p_2 = 2024^n + 1\) là một số nguyên tố khác.
- Khi hai số \(p_1\) và \(p_2\) gần nhau (cách nhau đúng 2), có một số điều kiện về chúng. Nếu một số nguyên \(p\) là số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng \(3\), thì \(p\) phải là số lẻ.

3. **Xét trường hợp hai số nguyên tố này**:
- Hãy xét tổng hoặc hiệu của hai số này:
\[
p_2 - p_1 = (2024^n + 1) - (2024^n - 1) = 2
\]
- Chúng ta lưu ý rằng khi \(p_1\) và \(p_2\) là hai số nguyên tố khác nhau, ngoài số \(2\), thì không có cặp nào khác mà có hiệu bằng \(2\).

4. **Kiểm tra các số lẻ khác**:
- Nếu có cả hai số nguyên tố xảy ra cùng một lúc, thì bởi vì khác nhau có 2, một trong hai số không thể là số nguyên tố lớn hơn các số nguyên tố lớn hơn \(2\).

5. **Kết luận**:
- Vì không thể có hai số lẻ nguyên tố cách nhau 2 trừ khi một trong số đó là \(2\), nhưng trong trường hợp \(n \geq 1\), \(2024^n - 1\) và \(2024^n + 1\) luôn là số lớn hơn \(2\). Do đó, không thể có cả hai số nguyên tố \(2024^n - 1\) và \(2024^n + 1\) cùng tồn tại.

Do đó, ta kết luận rằng hai số \(2024^n - 1\) và \(2024^n + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.