Để rút gọn các biểu thức trong đề bài, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) \(\sqrt{1 + 3x^2 + 3x^2 + x^4}\)

Gộp các hạng tử:
\[
\sqrt{1 + 6x^2 + x^4}
\]
Nhận thấy rằng biểu thức trong căn là một hằng đẳng thức:
\[
1 + 6x^2 + x^4 = (1 + 3x^2)^2
\]
Vì vậy:
\[
\sqrt{1 + 6x^2 + x^4} = 1 + 3x^2
\]

### b) \(\sqrt{1 - 3x + 3x^2 - x^2}\)

Rút gọn biểu thức:
\[
\sqrt{1 - 3x + 2x^2}
\]
Biểu thức này có thể viết lại thành:
\[
\sqrt{(1 - x)^2}
\]
Vì vậy:
\[
\sqrt{1 - 3x + 2x^2} = |1 - x|
\]

### c) \(\sqrt{-6z + 12z^2 - 8z^2}\)

Rút gọn biểu thức:
\[
\sqrt{-6z + 4z^2} = \sqrt{4z^2 - 6z}
\]
Tách ra và đặt nhân tử:
\[
= \sqrt{2z(2z - 3)}
\]

### d) \(\sqrt{1 + 6z + 12z^2 + 8z^2}\)

Rút gọn biểu thức:
\[
\sqrt{1 + 6z + 20z^2}
\]
Biểu thức này có thể viết lại thành:
\[
\sqrt{(1 + 3z)^2 + 11z^2}
\]

Tổng kết lại:
- a) \(1 + 3x^2\)
- b) \(|1 - x|\)
- c) \(\sqrt{2z(2z - 3)}\)
- d) Không có dạng đơn giản hơn (hoặc tiếp tục phân tích thêm nếu cần).