Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng BD = CE.

1. **Xét tam giác đều ABC**:
- Ta có \(AB = AC = BC\).

2. **Điểm D**:
- D nằm trong tam giác ABC, sao cho góc \(BAD > CAD\). Điều này dẫn đến việc điểm D nằm gần điểm A hơn so với cạnh BC.

3. **Tam giác ADE đều**:
- Do AE = AD, nên ta có \(AD = AE\).

4. **Vì tam giác ADE đều**:
- Góc \(ADE = 60^\circ\).
- Ta có \(E\) nằm cùng phía với \(C\) so với đường thẳng \(AD\).

5. **Xét hai tam giác BDI và CEI**:
- Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\).
- Bởi vì \(C\) và \(E\) nằm cùng phía so với \(AD\), do đó trong tam giác BDI và CEI, góc \(BID\) và góc \(CID\) sẽ bằng nhau, vì chúng đều là góc kề bù với \(BAD\) và \(CAD\).

6. **Sử dụng định lý sin trong hai tam giác BDI và CEI**:
\[
\frac{BD}{\sin(CID)} = \frac{CE}{\sin(BID)}
\]
Mà \(CID = BID\), nên ta có \(BD = CE\).

### b) Tính số đo góc BIC.

1. **Xét tứ giác BICE**:
- Góc \(BIC\) có thể được tính từ các góc ngoài của tứ giác này.
- Biết rằng tổng các góc trong tứ giác BICE bằng \(360^\circ\).

2. **Sử dụng tính chất của tam giác**:
- Trong tam giác ABC đều, có các góc \(ABC\) và \(ACB\) đều bằng \(60^\circ\).

3. **Số đo góc BIC**:
\[
BIC = 180^\circ - \left(BAD + CAD\right)
\]
Với \(BAD + CAD < 180^\circ\) thì số đo góc \(BIC\) sẽ phụ thuộc vào độ lớn của \(BAD\) và \(CAD\).

### c) Tính số đo góc AIB.

1. **Góc AIB**:
- Tương tự, ta có:
\[
AIB = 180^\circ - (EAC + IAC)
\]

2. **Xét tổng các góc**:
- Sử dụng lại các góc ở trên và tính toán số đo theo cách tương tự như đã làm với góc BIC.

### Kết luận:
Tất cả các bước trên giúp ta chứng minh rằng BD = CE và từ đó tính số đo các góc BIC và AIB một cách chính xác. Cần thực hiện thêm các tính toán và lý luận chi tiết để ra được kết quả cụ thể cho từng góc.