Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( C = \frac{3}{x} + 1 \) cũng có giá trị nguyên, chúng ta sẽ phân tích điều kiện để \( C \) là một số nguyên.

Biểu thức \( C \) là số nguyên khi \( \frac{3}{x} \) là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x \) phải là một ước của 3, vì chỉ khi đó \( \frac{3}{x} \) mới có thể nhận giá trị nguyên.

Các ước của 3 là:
- \( 1 \)
- \( -1 \)
- \( 3 \)
- \( -3 \)

Chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( x \):

1. \( x = 1 \):
\[
C = \frac{3}{1} + 1 = 3 + 1 = 4 \quad (\text{nguyên})
\]
2. \( x = -1 \):
\[
C = \frac{3}{-1} + 1 = -3 + 1 = -2 \quad (\text{nguyên})
\]
3. \( x = 3 \):
\[
C = \frac{3}{3} + 1 = 1 + 1 = 2 \quad (\text{nguyên})
\]
4. \( x = -3 \):
\[
C = \frac{3}{-3} + 1 = -1 + 1 = 0 \quad (\text{nguyên})
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( C \) có giá trị nguyên là:
\[
x = 1, -1, 3, -3
\]