Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

Để chứng minh rằng tứ giác BHCD là một hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện bằng nhau hoặc rằng hai cặp cạnh đối diện song song.

1. **Bằng nhau**: Theo định nghĩa, để BHCD là hình bình hành, ta cần \( BH = CD \) và \( HC = BD \).
2. Sử dụng tính chất của các đường cao, ta có \( H \) là giao điểm của các đường cao. Do đó, các cạnh \( BH \) và \( CD \) đều vuông góc với góc tương ứng tại \( A \).

3. Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( D \) nằm trên đường thẳng nối với \( M \) theo hướng đối diện, ta có \( BH \parallel CD \) và \( HC \parallel BD \).

### b) Chứng minh tam giác ABD vuông tại B, tam giác ACD vuông tại C.

1. **Tam giác ABD**:
- \( AF \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nghĩa là \( AB \perp BC \). Do đó, góc \( ADB \) là góc vuông.

2. **Tam giác ACD**:
- Tương tự, \( CG \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), nên \( AC \perp AB \). Do đó, góc \( ACD \) là góc vuông.

### c) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh \( IA = IB = IC = ID \).

1. **Xác định điểm I**:
- Theo định nghĩa, \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \).

2. **Chứng minh bằng nhau**:
- Từ tính chất trung điểm, ta có \( IA = ID \).
- Do \( D \) nằm trên tia đối \( MH \) và \( M \) là trung điểm của \( HD \), chúng ta cũng có \( IB = IC \).

3. Sử dụng các tính chất về kích thước và định nghĩa về trung điểm, ta có thể cụ thể hóa hơn để đưa ra các bước chứng minh lượng giác hoặc hình học cho các đoạn thẳng này.

Kết luận rằng \( IA = IB = IC = ID \).

### Tổng kết:
Chúng ta đã chứng minh xong từng phần của bài toán, từ việc chứng minh tứ giác là hình bình hành, tính chất các tam giác vuông, và cuối cùng là mối quan hệ giữa các đoạn thẳng từ trung điểm đến các đỉnh của tam giác.