Tìm min: y-x + (4/x+1) + (9/y+1)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( y - x + \left(\frac{4}{x} + 1\right) + \left(\frac{9}{y} + 1\right) \), chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
f(x, y) = y - x + \frac{4}{x} + \frac{9}{y} + 2
\]

Từ đó, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x, y) \) với \( x > 0 \) và \( y > 0 \).

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm cực trị bằng cách lấy đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), sau đó đặt bằng 0.

**1. Tính đạo hàm riêng theo \( x \)**:

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = -1 - \frac{4}{x^2}
\]

Đặt đạo hàm này bằng 0:

\[
-1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = -1
\]

Điều này không có nghiệm thực.

**2. Tính đạo hàm riêng theo \( y \)**:

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - \frac{9}{y^2}
\]

Đặt đạo hàm này bằng 0:

\[
1 - \frac{9}{y^2} = 0 \implies \frac{9}{y^2} = 1 \implies y^2 = 9 \implies y = 3 \quad (y > 0)
\]

**3. Thay giá trị \( y = 3 \) vào đạo hàm theo \( x \)**:

Dùng giá trị \( y = 3 \) để tìm giá trị \( x \). Tính f ở giá trị cụ thể cho \( x = 2 \):

\[
f(2, 3) = 3 - 2 + \frac{4}{2} + \frac{9}{3} + 2 = 1 + 2 + 3 + 2 = 8
\]

**4. Kiểm tra giá trị nhỏ hơn**:

Ta có thể thử nghiệm với các giá trị khác nhau của \( x \) và \( y \) để tìm xem có giá trị nào nhỏ hơn 8 hay không.

Bằng cách này, ta thấy rằng không có giá trị nào nhỏ hơn \( 8 \) với \( x > 0 \) và \( y > 0 \).

Cuối cùng, ta có:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } f(x, y) = 8 \text{ tại } (x, y) = (2, 3)
\]