Chứng minh: 1/1x2 + 1/3x4 + 1/5x6 + ... + 1/49x50 < 5/6

Ta có biểu thức cần chứng minh:

\[
S = \sum_{n=1}^{24} \frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50}
\]

Để tính tổng này, ta sẽ sử dụng một biến đổi đáng chú ý. Cụ thể, ta có thể viết:

\[
\frac{1}{(2n-1)(2n)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}
\]

Do đó, ta có:

\[
S = \sum_{n=1}^{24} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right)
\]

Khi ta thay thế vào công thức, ta sẽ phát hiện ra rằng đây là một chuỗi phân kỳ:

\[
S = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)
\]

Khi tính toán tổng này, ta nhận thấy rằng các thành phần phân tách sẽ cho phép chúng ta nhóm lại:

\[
S = \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{50} \right)
\]

Gọi \( A = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} \) và \( B = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{50} \).

Có thể tính \( B \) dễ hơn:

\[
B = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{25}) = \frac{1}{2} H_{25}
\]

Trong đó \( H_n \) là số Harmonic thứ \( n \).

Đối với \( A \), ta có thể tính toán tương tự. Tuy nhiên, để chứng minh định lượng chính xác, ta sẽ không cần phải tính trực tiếp từng giá trị mà sẽ sử dụng một bất đẳng thức.

Sử dụng bất đẳng thức dãy Hartley:
\[
\frac{1}{(2k-1)(2k)} < \frac{1}{2k^2}
\]

Đó cho thấy:

\[
S < \sum_{n=1}^{24} \frac{1}{2n^2}
\]

Vì \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \), ta sẽ có:

\[
S < \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} < 5/6
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
S < \frac{5}{6}
\]

Điều này đồng nghĩa với việc \( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50} < \frac{5}{6} \).

Vậy là ta đã hoàn thành việc chứng minh.