Để chứng minh DE = CF trong hình thang cân ABCD (với AB // CD và AB < CD), ta có thể sử dụng phương pháp tương đương tam giác và tính chất của hình thang.

1. Gọi H là giao điểm của đường thẳng CD với AE, và I là giao điểm của đường thẳng AB với BF.

2. Về tính đối xứng của hình thang cân: Trong hình thang cân, các đường cao AE và BF đều chia các góc tại A và B thành hai góc bằng nhau. Điều này có nghĩa là hai tam giác ADE và BCF sẽ có các đặc điểm sau:
- Góc ABE = Góc BCF (cùng bằng góc vuông)
- Góc AFE = Góc BCF (vì đây là góc đối đỉnh)
- Đường cao của hình thang do đó là trung điểm của các cạnh đối (DE và CF).

3. Do AE và BF là các đường cao cắt nhau theo hướng vuông góc với các cạnh đáy AB và CD, ta có thể xác định tính chất tương đương giữa các đoạn DE và CF thông qua định lý Pythagore:

\[
DE = AE \cdot \tan(\angle ADE)
\]
\[
CF = BF \cdot \tan(\angle BCF)
\]

4. Trong tam giác ADE và BCF, các cạnh đáy của chúng (AB và CD) là song song, vì vậy từ tính chất đường cao và sự đối xứng của tam giác, chúng ta có DE = CF.

Do đó, ta có thể kết luận:
\[
DE = CF
\]

Vậy bài toán đã được chứng minh.