Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích các yếu tố hình học trong tam giác vuông ABC và các đoạn thẳng đã kẻ.

**a) Chứng minh AC // HK:**

1. **Các đường vuông góc:**
- Đầu tiên, HN vuông góc với AC.
- Sau đó, MX vuông góc với AB.

2. **Tính chất của tứ giác:**
- Khi HN và HM vuông góc tương ứng với AC và AB, ta nhận thấy rằng góc HAI = 90 độ (vì AH vuông góc với BC, và AB vuông góc với AC).

3. **Tính chất tâm điểm:**
- K là điểm trên tia AI sao cho I là trung điểm của AK. Điều này có nghĩa là AK chia đôi tại I.

4. **Tính đồng phẳng:**
- Khi K và I nằm trên cùng một đường thẳng (tia AI), mà HN vuông góc với AC, điều này cho thấy rằng HK và AC cũng đồng phẳng và vuông góc với nhau.

5. **Tương tự, chiều dài:**
- Do đó, AC // HK là một kết quả từ việc HK vuông góc với đoạn vuông góc AC.

**b) Chứng minh MNCK là hình thang cân:**

1. **Các điểm MN:**
- MN là phần giao nhau của hai đoạn vuông góc, do đó trọng tâm sẽ vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác, tạo thành các đoạn đoạn thẳng trung bình bằng nhau.

2. **Tính chất cạnh:**
- Hình thang được xác định là hình thang cân nếu hai cạnh bên của nó là song song và bằng nhau, hay mọi góc của nó có theo tỷ lệ tương ứng.

3. **Tính chất đối xứng:**
- Với HN vuông góc với AC và HM vuông góc với AB, cùng với việc I là tâm điểm của HC, chúng ta nhận thấy rằng MNCK là một hình hình thang cân.

**c) Chứng minh AK = 3AD:**

1. **Tỉ lệ giữa các đoạn:**
- I là trung điểm của AC và K trên tia AI.
- Chính vì vậy, từ H có thể vẽ đoạn thẳng AH, và khi rõ AD được định nghĩa ở vị trí D cắt AC tại O, đoạn OH là đoạn thẳng chứa D.

2. **Phép chia:**
- Nếu D chia đoạn AK theo tỉ lệ 1:3, thể hiện rằng HD là một phần ba đoạn AC. Vậy K nằm ở điểm cách D một đoạn bằng ba lần AD.

3. **Giá trị tỷ lệ:**
- Dựa vào đó, nghiệm chính là AK = 3AD vì K cách đều I (trung điểm) tới O và D, do đó ta có thể tính ra tỉ lệ giữa các đoạn thẳng như yêu cầu.

Tóm lại, hai phần a), b), c) được chứng minh dựa trên các tính chất hình học trong góc vuông và tính đồng phẳng trong tam giác vuông ABC.