Cho tam giác ABC có đỉnh A ở C, B có BC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần.

**a)** Gọi \( H \) là điểm đối xứng của \( P \) qua \( M \).

- **Tính chất của mối quan hệ giữa các điểm:**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên ta có \( AM = MB \).
- \( H \) là điểm đối xứng của \( P \) qua \( M \), nghĩa là \( M \) sẽ là trung điểm của đoạn thẳng \( PH \).

- **Chứng minh rằng tứ giác \( AHBP \) là hình chữ nhật:**
- Ta cần chứng minh rằng các cạnh \( AH \) và \( BP \) vuông góc với nhau và \( AB \) song song với \( HP \).

- Xét vector:
- \( \vec{AH} = \vec{AP} + \vec{PH} \).
- Tương tự cho \( \vec{BP} \).

- Bằng cách sử dụng tính chất đa giác và tính chất độ dài, ta có thể kết luận về các góc vuông trong tứ giác.

**b)** Chứng minh \( AMNP \) là hình thoi:

- Để chứng minh \( AMNP \) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các cạnh \( AM \), \( AN \), \( MP \), \( NP \) có độ dài bằng nhau.

- Sử dụng tính chất trung điểm:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \), và \( P \) nằm trên \( BC \).

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa các điểm để tìm độ dài của các đoạn thẳng.

- Nếu \( AM = AN = MP = NP \), thì tứ giác \( AMNP \) sẽ là hình thoi.

Sau khi hoàn thành tất cả các bước chứng minh và tính toán, ta sẽ có các kết quả cần thiết để kết luận bài toán.