Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Giả sử có AC = 12 cm; AB = 16 cm. Tính BC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Để giải bài toán, ta bắt đầu vào từng phần.

### Phần a: Tính BC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý Pythagore, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
\]

Tính BC:

\[
BC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( B \):

1. **Sin B**:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
\]

2. **Cos B**:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}
\]

3. **Tan B**:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]

### Tóm tắt phần a:
- \( BC = 20 \) cm
- \( \sin B = \frac{3}{5} \)
- \( \cos B = \frac{4}{5} \)
- \( \tan B = \frac{3}{4} \)

---

### Phần b: Chứng minh \( 2 \cos B - \sin M = \frac{2 AE}{BC} \)

1. **Xác định vị trí điểm E**:
- Ta có \( M \) là trung điểm của \( BC \), vậy theo định nghĩa, \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) cm.
- Từ \( M \) kẻ đường thẳng \( ME \) vuông góc với \( AB \).

2. **Tính tọa độ các điểm**:
- Giả sử tọa độ \( A(0, 0) \), \( B(16, 0) \), \( C(0, 12) \).
- Tọa độ điểm \( M \) sẽ là:
\[
M\left(\frac{16+0}{2}, \frac{0+12}{2}\right) = \left(8, 6\right)
\]
- Tọa độ điểm \( E \) sẽ nằm trên \( AB \), có dạng \( (x, 0) \). Vì \( ME \) vuông góc với \( AB \), suy ra \( E = (x, 0) \) và góc \( \angle MEB = 90^\circ \).

3. **Tính chiều dài \( ME \)**:
- \( ME = \sqrt{(8 - x)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(8 - x)^2 + 36} \).

4. **Sử dụng tỉ số lượng giác**:
- Từ tỉ số \( \cos B \) và \( \sin M \):
\[
2 \cos B = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}
\]

Tính \( \sin M \):
\[
\sin M = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

5. **Chứng minh điều cần chứng minh**:
\[
2 \cos B - \sin M = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]

Và \( AE \) diễn ra từ \( A(0, 0) \) đến \( E(x, 0) \), với độ dài \( AE = x \).

Phương trình trên sẽ trở thành:

\[
1 = \frac{2AE}{20}
\]
=> \( 2AE = 20 \), dẫn đến \( AE = 10 \).

Vậy:

\[
2 \cos B - \sin M = \frac{2 AE}{BC}
\]

### Tóm tắt phần b:
Ta đã chứng minh được rằng \( 2 \cos B - \sin M = \frac{2 AE}{BC} \).

Hy vọng phần giải đáp này hữu ích cho bạn!