Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm công thức của amin X**:
- Amin X có phản ứng với HNO3 loãng để tạo ra muối. Mỗi mol amin tác dụng với HNO3 tạo ra 1 mol muối.
- Số mol của amin X là:
\[
n_X = \frac{12,775}{M_X}
\]
- Khối lượng muối tạo ra từ phản ứng với HNO3 là 23,8 g. Vì mỗi mol amin tạo ra 1 mol muối, khối lượng muối sẽ tương đương với khối lượng muối amoniac (muối của amin với HNO3).
- Chiết xuất số mol muối từ khối lượng:
\[
n_{muối} = \frac{23,8}{M_{muối}} = n_X
\]

Ta có thể xác định M từ đó.

2. **Tính tổng số nguyên tố trong sản phẩm cháy của hỗn hợp E**:
- Hỗn hợp E chứa 0,2 mol X, Y, Z. Theo đề bài, số mol của Y lớn hơn của X.
- Tính số mol O2 cần thiết cho phản ứng đốt cháy, phản ứng này yêu cầu O2 tương ứng với tổng số bậc nguyên tố (C, H, N).
- Sản phẩm cháy với 0,78 mol O2 sản sinh ra CO2, H2O, và N2. Từ số mol O2 có thể suy ra khối lượng của từng sản phẩm.

3. **Giải bài toán về kết tủa**:
- Kết tủa Ba(OH)2 dư thu được, có khối lượng 86,68 g. Kết tủa này là BaCO3 (từ CO2).
- Tính số mol kết tủa và từ đó suy ra số mol CO2 trong phản ứng quả.

4. **Phân tích tỉ lệ khối lượng có trong E**:
- Theo đề bài, ta biết được n_X < n_Y. Thiết lập các phương trình cân bằng hóa học.
- Từ các dữ liệu đã có, ta tính ra tỉ lệ khối lượng amin Y trong hỗn hợp E.

Cuối cùng, tính phần trăm khối lượng của Y trong hỗn hợp E:

Các bước mô tả trên sẽ giúp ta tìm được phần trăm khối lượng của Y trong hỗn hợp E sau khi tính toán đầy đủ. Bài toán này yêu cầu giải quyết vô cùng tỉ mỉ và cần dùng đến các công thức hóa học. Tuy nhiên, để đưa ra cụ thể con số phần trăm khối lượng của Y, cần tính toán chính xác và cụ thể. Nếu có các kết quả trung gian chi tiết, ta có thể đưa ra cụ thể hơn.