Đáp án: “3”

Phương pháp giải

- Xét dãy số \(\left( \right)\), với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right),n \ge 2,n \in \mathbb{N}.\)

- Chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định \({u_n} = \frac,\forall n \ge 2\)

Lời giải

Xét dãy số \(\left( \right)\), với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right),n \ge 2,n \in \mathbb{N}.\)

Ta có:

\({u_2} = 1 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{4} = \frac\)

\({u_3} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) = \frac{3}{4}.\frac{8}{9} = \frac{4}{6} = \frac;\)

\({u_4} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) = \frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac = \frac{5}{8} = \frac\)

\({u_n} = \frac.\)

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định \({u_n} = \frac,\forall n \ge 2\)

Khi đó \(\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \frac = \frac{1}{2}\)