Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z + 1 - 3i| = |z - 1 - i|\) và biểu thức \(P = |\bar z - 3 - i|\).

Mỗi phát biểu sau đây về z và P đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp biểu diễn các số phức \(z\) là trung trực của đoạn thẳng AB với \(A( - 1;3)\) và \(B(1;1)\)

Vậy, đường thẳng \((d)\) có phương trình \( - x + y = 2\).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(\bar z\) là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(x + y =  - 2\).

(Lấy đối xứng đường thẳng \((d)\) qua trục Ox)

Đặt D(3;1). Với \(P = |\bar z - 3 - i| = |\bar z - (3 + i)|\) nên \(P\) là độ dài khoảng cách giữa \(\bar z\) và \(D\).

\(\min P = \min {d_{(\bar z;D)}} = {d_{\left( {D;\left( {d'} \right)} \right)}} = 3\sqrt 2 \).

Hình chiếu vuông góc của \(D\) xuống \(\left( {d'} \right)\) là điểm \(F(0; - 2)\).

Suy ra số phức \(\bar z\) cần tìm là \( - 2i\).

Vậy \(z = 2i\).