Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH

Để giải bài 19, ta sẽ làm từng yêu cầu như sau:

### a) Tính cosC theo hai cách và suy ra \( AC^2 = BC \cdot HC \)

1. **Cách 1:** Sử dụng định nghĩa của cos trong tam giác vuông:
\[
\cos C = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Cách 2:** Sử dụng định nghĩa của cos trong tam giác vuông tại đỉnh C:
\[
\cos C = \frac{AC}{BC}
\]

Khi đó, từ hai biểu thức trên, ta có thể đặt:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{BC}
\]
Từ đó suy ra:
\[
AB \cdot BC = AC^2
\]
Vì tam giác vuông ABC có đường cao AH, theo tính chất của đường cao ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]
Kết hợp hai kết quả trên ta có:
\[
AC^2 = BC \cdot HC
\]

### b) Tính \( \tan ABH \) và \( \tan CAH \), suy ra \( AH^2 = BH \cdot CH \)

1. **Tính \( \tan ABH \):**
\[
\tan ABH = \frac{AH}{BH}
\]

2. **Tính \( \tan CAH \):**
\[
\tan CAH = \frac{AH}{CH}
\]

Từ hai biểu thức trên ta có:
\[
\frac{AH}{BH} = \tan ABH \quad \text{và} \quad \frac{AH}{CH} = \tan CAH
\]

Điều này dẫn đến:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]

### c) Chứng minh rằng \( \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} \)

Sử dụng kết quả đã chứng minh ở trên cùng với định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = \frac{AB^2 \cdot AC^2}{AB^2 + AC^2}
\]
Vì vậy, khi thay vào ta có:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{AB^2 + AC^2}{AB^2 \cdot AC^2}
\]
Từ đó, ta thu được:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}
\]

Như vậy, bài toán đã được giải quyết.