Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì hoành độ điểm \(D\) là -6 .

Chân đường cao \(H\) hạ từ đỉnh \(A\) của  có tọa độ là (-3 ; 5 ;1 )

Giải thích

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;6; - 2} \right)\)

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_D} + 1;{y_D} - 6;{z_D} + 1} \right) = \left( { - 5;6; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} + 1 =  - 5}\\{{y_D} - 6 = 6}\\{{z_D} + 1 =  - 2}\end{array} \Rightarrow D\left( { - 6;12; - 3} \right)} \right.\).

Đường thẳng BC đi qua \(B(2; - 1;3)\) và nhận \(\overrightarrow {BC}  = ( - 5;6; - 2)\) làm một vecto chỉ phương có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y =  - 1 + 6t}\\{z = 3 - 2t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in BC\) nên \(H(2 - 5t; - 1 + 6t;3 - 2t) \Rightarrow \overrightarrow {AH} (3 - 5t; - 7 + 6t;4 - 2t)\).

Vì \(H\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của  nên \(AH \bot BC\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 5(3 - 5t) + 6( - 7 + 6t) - 2(4 - 2t) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow H( - 3;5;1)\)