Để giải bài toán, trước tiên ta bắt đầu với phương trình:

\[ x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 2m) = 0. \]

Ta có thể sử dụng công thức vi-ét để biết rằng:

- Tích của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là \( x_1 x_2 = m^2 + 2m \).
- Tổng của hai nghiệm \( x_1 + x_2 = 2(m+1) \).

Theo yêu cầu bài toán, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho:

\[ x_1^3 - x_2^3 = 8. \]

Ta có thể sử dụng công thức hiệu lập phương:

\[ x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2). \]

Ta tính \( x_1 - x_2 \) và \( x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 \):

1. Tính \( x_1 - x_2 \) từ định lý vi-ét và công thức nghiệm:

\[
x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{(2(m+1))^2 - 4(m^2 + 2m)} = \sqrt{4(m+1)^2 - 4(m^2 + 2m)}.
\]

Sau khi rút gọn, ta có:

\[
x_1 - x_2 = \sqrt{4((m+1)^2 - (m^2 + 2m))} = \sqrt{4(m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2m)} = \sqrt{4} = 2.
\]

2. Tính \( x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 \):

\[
x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = (2(m+1))^2 - (m^2 + 2m).
\]

Thay vào ta được:

\[
x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 4(m+1)^2 - (m^2 + 2m) = 4(m^2 + 2m + 1) - m^2 - 2m.
\]

Rút gọn tiếp:

\[
= 4m^2 + 8m + 4 - m^2 - 2m = 3m^2 + 6m + 4.
\]

Giờ ta có thể kết hợp lại để giải phương trình:

\[
x_1^3 - x_2^3 = 8 \implies (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = 2(3m^2 + 6m + 4) = 8.
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
3m^2 + 6m + 4 = 4.
\]

Giải phương trình:

\[
3m^2 + 6m + 0 = 0 \implies 3m(m + 2) = 0.
\]

Giá trị của \( m \) là:

\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = -2.
\]

Bây giờ ta xem các giá trị này có cho ra nghiệm phân biệt hay không:

1. Với \( m = 0 \):

\[
x^2 - 2(0 + 1)x + (0^2 + 2 \cdot 0) = x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0.
\]
Có nghiệm phân biệt \( x_1 = 0, x_2 = 2 \).

2. Với \( m = -2 \):

\[
x^2 - 2(-2 + 1)x + ((-2)^2 + 2 \cdot (-2)) = x^2 + 2x + 0 = x(x + 2) = 0.
\]
Có nghiệm phân biệt \( x_1 = 0, x_2 = -2 \).

Vậy \( m = 0 \) và \( m = -2 \) đều cho ra nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện \( x_1^3 - x_2^3 = 8 \).

**Kết luận:** Các giá trị của \( m \) thỏa mãn là \( m = 0 \) hoặc \( m = -2 \).