Cho hàm số \(y = \frac{{{\rm{sin}}x}}x}} + \frac{1}x}} + {\rm{cot}}x\left( C \right)\). Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là 3 , trong đó điểm có hoành độ \(\frac{{\pi a}}{b}\) với \(a = \)-1 , \(b = \)4 ,\((a,b \in \mathbb{Z};b > 0;\left( {a;b} \right) = 1)\) nằm gần trục tung nhất.

Giải thích

Điều kiện xác định của hàm số \(\left( C \right):\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}x \ne  \pm 1}\\{{\rm{sin}}x \ne 0}\end{array}} \right) \Leftrightarrow x \ne k\pi \left( {k, \in ,\mathbb{Z}} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{{\rm{sin}}x}}x}} + \frac{1}x}} + {\rm{cot}}x = 2\,\,\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{\rm{sin}}x\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right) + 1 + {\rm{cos}}x}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}} + \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}x - {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x + 1 + {\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{cos}}2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right)\left( {1 + {\rm{cos}}x - {\rm{sin}}x} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x + \cos x = 0}\\{1 + \cos x - \sin x = 0}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan x =  - 1}\\{\sin \left( {x, - ,\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi (t,m)}\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (t,m)}\\{x = \pi  + k2\pi (L)}\end{array}} \right)(k, \in ,\mathbb{Z})\]

Xét \( - \pi  \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Xét \( - \pi  \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = 0\).

Vậy có 3 nghiệm của \(\left( {\rm{*}} \right)\) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) hay số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) với đường thẳng \(y = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là 3 , trong đó điểm có hoành độ \(\frac{{ - \pi }}{4}\) nằm gần trục tung nhất \( \Rightarrow a =  - 1;b = 4\).