Đáp án: “20”

Giải thích

Giả sử hình nón đỉnh S, tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là ΔSAB (hình vẽ).

Ta có \(SO\) là đường cao của hình nón \( \Rightarrow SO = h = 4\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OI \bot AB\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SI \Rightarrow OH \bot SI\).

Ta có: \(SO \bot AB\) mà \(OI \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

Mà \(OH \bot SI \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) do đó \(d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \frac{5}\).

Xét tam giác \(SOI\) vuông tại \(O\) có \(OH\) là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{5}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow O{I^2} = 9 \Rightarrow OI = 3\).

Xét tam giác \(SOI\) vuông tại \(O\) có \(SI = \sqrt {O{S^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\).

Xét tam giác \(OIA\) vuông tại \(IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} - {3^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4 \Rightarrow AB = 8\).

Vậy diện tích của thiết diện là: S△SAB=12AB.SI=12.8.5=20.