Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).
Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
Phát biểu | ĐÚNG | SAI |
\(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). | ¡ | ¡ |
\(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). | ¡ | ¡ |
Tổng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) + \ldots \)\( + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\) bằng 2049300. | ¡ | ¡ |
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Phát biểu | ĐÚNG | SAI |
\(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). | ¡ | ¤ |
\(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). | ¤ | ¡ |
Tổng \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) + \ldots \)\( + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\) bằng 2049300. | ¤ | ¡ |
Giải thích
Ta có \(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{ - 1}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}{\rm{\;d}}x = {\rm{cot}}x + C\).
Do \(F\left( x \right)\) không xác định tại \(x = l\pi ,l \in \mathbb{Z}\) nên phát biểu \(F\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là sai.
Xét trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + {C_k}\).
Có \(\frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k + 1\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\) nên
\({\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) + {C_k} = k + 1\) hay \({C_k} = k\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy \(F\left( x \right) = {\rm{cot}}x + k\) trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right) + \ldots + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right)\)
\( = {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + {C_0} + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) + {C_1} + \ldots + {\rm{cot}}\left( {\frac{\pi }{2} + 2023\pi } \right) + {C_{2023}} + F\left( {\frac{\pi }{2} + 2024\pi } \right) + {C_{2024}}\)
\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 2023 + 2024\)
\( = \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300\).
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |