Giải thích

Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a + b + c = {{(1 + 2 + 3)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 6}\\\begin{array}{l}b = 12\\c = 18\end{array}\end{array}} \right.\).

Khi đó \(\sin \varphi  = \frac{{d(A;\alpha )}}{{d(A;\Delta )}}\).

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Gọi điểm \(G\) là trọng tâm , kéo dài tia \(BM\) cắt \(AD\) tại \(F\).

Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {BEF} \right) = EG\)

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) là góc \(\varphi \) có \({\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}}\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(AK \bot EG\left( {K \in EG} \right)\).

Ta có: \(AE = SA - SE = 2a;AG = AC - GC = AC - \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3}AC = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {A,EG} \right) = AK = \frac{{\sqrt {A{E^2} + A{G^2}} }} = \frac{{a\sqrt {70} }}{7}\)

Gọi \(h = d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)\).

Ta có: \(\frac = \frac = \frac{1}{2} \Rightarrow FA = 2a\)

Vì \(AE,AB,AF\) đôi một vuông góc nên

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}} = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow {\rm{cos}}\varphi  = \frac{1}{{\sqrt {15} }}\).