Cho đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các dây cung AM và BN song song với nhau. Gọi I, K lần lượt là trung điểm AM và BN

Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh rằng \( I, O, K \) thẳng hàng:

1. **Xác định các yếu tố trong hình vẽ:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( AB \) là đường kính.
- Dây cung \( AM \) và \( BN \) là hai dây cung song song.
- \( I \) là trung điểm của dây cung \( AM \) và \( K \) là trung điểm của dây cung \( BN \).

2. **Điểm nhìn từ tính chất của giao điểm:**
- Vì \( AM \) và \( BN \) là hai dây cung song song, nên góc tạo bởi các bán kính kéo từ \( O \) đến \( A \) và \( B \) sẽ bằng nhau, tức là \( \angle OAI = \angle OBK \).
- Do đó, tam giác \( OAI \) và tam giác \( OBK \) sẽ đồng dạng.

3. **Sử dụng tính chất của trung điểm:**
- Theo định lý trung điểm, điểm \( I \) chia đoạn \( AM \) thành hai phần bằng nhau, cần chứng minh rằng \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( IK \).
- Xét tam giác \( OAI \) và \( OBK \) có hai góc bằng nhau và cạnh \( OA = OB \) (bán kính của đường tròn) nên hai tam giác này đồng dạng, và điểm \( O \) phải nằm trên đường thẳng nối \( I \) và \( K \).

Kết luận: \( I, O, K \) thẳng hàng.

### b) Chứng minh rằng \( AM = BN \):

1. **Sử dụng tính chất của dây cung và các cạnh liên quan:**
- Vì \( I \) là trung điểm của dây cung \( AM \) và \( K \) là trung điểm của dây cung \( BN \), ta có:
\[
AI = IM \quad \text{và} \quad BK = KN
\]
- Do \( I, O, K \) thẳng hàng và \( AM \) song song với \( BN \), nên các cạnh này có độ dài bằng nhau trong hai tam giác đồng dạng.

2. **Sử dụng định lý về chiều dài dây cung:**
- Dây cung AM và BN song song và lại đối xứng qua đường kính \( AB \) cũng cho thấy chiều dài của các dây cung này cũng bằng nhau.

Kết luận: \( AM = BN \).

Tóm lại, ta đã chứng minh hai yêu cầu \( a) I, O, K \) thẳng hàng và \( b) AM = BN \).