Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AH. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. a) Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác EFHD là hình thang cân

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ từng bước thực hiện các chứng minh cần thiết.

### Bài 1

#### a) Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành.

Chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác BDEF song song và bằng nhau.

1. **Xác định các điểm**:
- D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, và F là trung điểm của BC.

2. **Chứng minh BE || DF**:
- Trong tam giác ABE, D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC, theo định lý trung tuyến, BE song song với DF.

3. **Chứng minh ED || BF**:
- Trong tam giác ACF, E là trung điểm của AC và F là trung điểm của BC, theo định lý trung tuyến, ED song song với BF.

4. **Kết luận**:
- Vì BDEF có hai cặp cạnh đối diện BE || DF và ED || BF, nên tứ giác BDEF là hình bình hành.

#### b) Chứng minh tứ giác EFHD là hình thang cân.

Để chứng minh EFHD là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh EF và HD song song và bằng nhau.

1. **Xác định các điểm**:
- H là giao điểm của đường cao AH với BC.
- F là trung điểm của BC, và E là trung điểm của AC.

2. **Sử dụng tính chất đường cao**:
- AH vuông góc với BC, do đó, EF và HD đều là các đoạn thẳng vuông góc với BC.

3. **Chứng minh EF // HD và EF = HD**:
- Theo định nghĩa trung điểm, khoảng cách từ E đến BC (EF) bằng khoảng cách từ H đến BC (HD) do H là điểm vuông góc.
- Do đó, có EF = HD.

4. **Kết luận**:
- Vì EF // HD và EF = HD, tứ giác EFHD là hình thang cân.

### Bài 2

#### a) Chứng minh: ∆OAH = ∆OCK

1. **Các cạnh tương ứng**:
- OA = OC: vì O là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành.
- AH // CK (từ đề bài).
- TH có hai góc tương ứng: ∠OAH = ∠OCK (2 góc so le trong).

2. **Áp dụng tiêu chuẩn tam giác đồng dạng**:
- Theo tiêu chuẩn góc-góc, ta có ∆OAH ~ ∆OCK.

3. **Kết luận**:
- Do đó, ∆OAH = ∆OCK.

#### b) Chứng minh: AK // CH và O là trung điểm của HK

1. **Chứng minh AK // CH**:
- Vì HA // CK và H thuộc OD (góc vuông từ AH đến CK), thì AK // CH cũng phải đúng.

2. **Xác định O là trung điểm của HK**:
- Dựa vào tính chất đường chéo trong hình bình hành, O là giao điểm chia HK thành hai phần bằng nhau.

#### c) AH cắt CD tại I, xác định vị trí điểm I trên cạnh CD để HK = 1/3 BD

1. **Chứng minh các đoạn**:
- Theo tỉ lệ giữa các đoạn, nếu HK = 1/3 BD thì I sẽ nằm ở một vị trí sao cho tỉ lệ của các đoạn cạnh được chia đúng theo yêu cầu.

2. **Tính toán**:
- Gọi BD = x; thì HK = 1/3 x.
- Từ đó, I sẽ được xác định tại một vị trí mà HK = 1/3 BD.

### Tổng kết

Đã hoàn thành các chứng minh cho bài toán. Hy vọng bạn hiểu rõ các bước chứng minh này!