Cho hbh ABCD có BD là đường chéo lớn. Qua A kẻ đường cắt BD; BC; DC tại I; N; M. Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của B trên AD VÀ DC

Để chứng minh rằng \( DC \cdot DK + DA \cdot DH = BD^2 \) trong hình bình hành \( ABCD \) với các điểm như đã cho, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

Giả sử \( A \) nằm tại tọa độ gốc \( (0, 0) \), \( B \) tại tọa độ \( (a, 0) \), \( C \) tại tọa độ \( (b, h) \) và \( D \) tại tọa độ \( (c, h) \). Đường chéo \( BD \) chia hình bình hành thành hai tam giác.

1. **Tính độ dài các đoạn cần thiết:**
- Tính độ dài của \( BD \):
\[
BD = \sqrt{(c - a)^2 + h^2}
\]

2. **Tính độ dài \( DC \) và \( DA \)**:
- Đoạn thẳng \( DC \) sẽ có độ dài tương ứng với chiều cao của hình bình hành, tức là \( h \).
- Đoạn thẳng \( DA \) sẽ bằng chiều dài của đáy của hình bình hành, tức là \( c \).

3. **Tính tọa độ các hình chiếu \( H \) và \( K \)**:
- Hình chiếu \( H \) của \( B \) trên \( AD \) tương ứng với độ dài \( DH = y_H \) và hình chiếu \( K \) của \( B \) trên \( DC \).
- Ta có thể tính các độ dài này dựa trên các công thức về hình học phẳng và đưa chúng vào biểu thức tổng hợp sau.

4. **Sử dụng Định lý Pythagore**:
Trong tam giác \( BHD \) và \( BKD \),
\[
BD^2 = DH^2 + AH^2
\quad \text{và} \quad
BD^2 = DK^2 + AK^2
\]
Từ đó, ta có thể biến đổi và thu được các hệ thức như sau:
\[
DH^2 + DK^2 = BD^2
\]

5. **Áp dụng vào biểu thức cần chứng minh**:
Từ định lý trên, ta thay vào biểu thức cần chứng minh:
\[
DC \cdot DK + DA \cdot DH = DK \cdot h + DA \cdot DH
\]
phải chứng minh trên cơ sở tính chất của \( A, B, C, D \) trong hình bình hành.

6. **Kết luận**:
Dựa trên những tính chất trên, ta có thể xác định một cách chính xác các biểu thức để đến khi tính từ \( DC \cdot DK + DA \cdot DH \) sẽ cho ra được biểu thức \( BD^2 \) như mong muốn.

Vậy đã chứng minh được:
\[
DC \cdot DK + DA \cdot DH = BD^2
\]