Đa thức tích phân (x) khi chia cho (x+1) thì dư 3, khi chia cho x² + 2 thì dư x+3. Tìm phân dư khi chia tích phân cho (x + 1)(x²+2)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý phần dư cho đa thức.

Gọi \( P(x) \) là đa thức cần tìm. Ta có các thông tin về dư khi chia \( P(x) \) cho \( x + 1 \) và \( x^2 + 2 \):

1. Khi chia cho \( x + 1 \), dư là 3:
\[
P(-1) = 3
\]

2. Khi chia cho \( x^2 + 2 \), dư là \( x + 3 \):
\[
P(i) = i + 3, \quad P(-i) = -i + 3
\]

Ta cần tìm phân dư khi chia \( P(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \). Phân dư này sẽ có dạng:
\[
R(x) = ax + b
\]
với \( a \) và \( b \) là các số thực.

### Bước 1: Biểu diễn \( P(x) \)

Theo định lý phần dư, ta có:
\[
P(x) = (x + 1)(x^2 + 2)Q(x) + R(x)
\]
với \( Q(x) \) là một đa thức nào đó.

### Bước 2: Áp dụng các điều kiện

Từ điều kiện đầu tiên:
\[
P(-1) = 3 \implies R(-1) = 3
\]
Do đó:
\[
R(-1) = -a + b = 3 \quad (1)
\]

Từ điều kiện thứ hai \( P(i) = i + 3 \):
\[
P(i) = R(i) = ai + b = i + 3 \quad (2)
\]

Từ điều kiện thứ ba \( P(-i) = -i + 3 \):
\[
P(-i) = R(-i) = -ai + b = -i + 3 \quad (3)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (2):
\[
ai + b = i + 3
\]
Ta có hệ phương trình:
\[
a = 1 \quad (4)
\]
\[
b = 3 \quad (5)
\]

Từ phương trình (3):
\[
-ai + b = -i + 3
\]
Từ phương trình (4) đã cho \( a = 1 \):
\[
-i + b = -i + 3
\]
Do đó từ đây cũng suy ra:
\[
b = 3
\]

### Bước 4: Kết luận

Từ các kết quả trên, ta có \( a = 1 \) và \( b = 3 \). Vậy phân dư khi chia \( P(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) là:
\[
R(x) = x + 3
\]

**Kết quả cuối cùng:**
\[
\text{Phân dư khi chia } P(x) \text{ cho } (x + 1)(x^2 + 2) là } R(x) = x + 3.
\]